指数函数和自然对数

算法数学之美

日期：2018年12月22日

正文共：3344字 21图

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来源：赵一帆

【指数函数和自然对数】

我经常想e真正的意义是什么呢？不是字母本身含义，而是作为一个数学常数的含义

通过查阅自然对数的定义，你会发现：

这个数学常数e是基于自然对数产生的。

自然对数原名为双曲对数，他是基于一个无理常数e=2.71828…

这是一个正确的，但是毫无用处的循环定义。

很多数学书的解释严谨却枯燥无味，并不适合初学者理解。

现在收好你们那些枯燥无味的数学书，我将向你们展示我的领悟，高水平的洞察力。

e不只是一个数字

如果你认为是与一样的无理数。确实，这是正确的，但是你的理解只是停留在表面。

π是圆周长与半径的比，他是所有圆都与身俱来的的比例。影响着圆的周长和面积、球体的面积和体积等的计算。π说明了所有圆都是有关联的，并且三角函数也是起源于此。

e是连续增长系统的极限增量，e让你得到那些一纳秒增长一点点的复合增长的极限结果。他说明了无论那种系统的增长都是以连续的指数的形式增长的。如人口、反射性衰变等等都是用e来表示出来的。

e也是所有增长系统的单位增量。这就像每一个数字都可以用一个单位数字1来表示，每一段线段都可以用一个单位线段来表示，每一个系统增量都可以用一个单位增量e来表示

理解指数增长

让我们从一个基本的系统来说起——翻倍的时间系统。

• 细菌可以在每24个小时就翻一倍

• 如果你的收入是资产100%，那么你的资产可以每年翻一倍

那么这些看起来如下图：

用小圆点表示：在每一次细菌进行分裂的时候，小圆点都分裂都成两倍。

如果我们让他分裂1次就得到，分裂4次那么就是，分裂x次，我们就会得到。

不失一般性：

用另一种方式表达的话，那就是以100%的增长率来表示：

事实上，这两个式子是等价的。

当然，我们可以使用任何的百分率(25%、50%、75%……)来代替100%，就会得到一个新的增长率公式，所以不失一般性，所有的式子可以表示为：

细究

我们的式子中增量是以离散的方式分布的，我们的细菌是等待一段时间后，在某个时刻突然分裂出另一个。我们感兴趣的是，细菌如何像魔术一样的到达某时刻时突然分裂出另一个呢？基于增量公式，绿色细胞是突然在一个单位时间出分裂出来（如上图）。但现实不是如此，如果你放大来看（如下图），细菌每时每刻都在分裂。

绿细胞并没有立即被分裂出来，而是慢慢地进行着。当到达一个单位时间，绿细胞就分裂完整了。然后他就会变成一个新的蓝细胞然后继续刚刚的分裂。

在这个式子中，条件改变了么？

没有，在这个细胞分裂的情形中，分裂一半的绿细胞依然啥事都没做，直到他完整的从蓝细胞中分裂出来。

钱

但是钱的计算过程是不相同的。当我们用一美分获取利息时，这一美分每时每刻所产生的利息都可以立即成为本金继续产生利息。我们并不需要等待他直到我们能完整赚得一美元后。

基于我们旧的思考方式，利息增长看起来如下图：

这并不是正确的答案，我们的利息增长不是在某个时刻突然产生的。让我们放大来看，我们的利息每时每刻都在增长。我们可以在一年内赚取100%的金额，也可以在6个月内赚取50%的金额。然后，后6个月赚取剩下的50分：

但是这仍然不正确！在六个月时，我们已经有50美分了，我们忘记了一点，就是这50美分在接下来的时间里也会有利息的。如下图：

因为我们的比例是50%每半年，所以50美分会赚得25美分，所以下一年，我们将得到

• 原来的一美元（蓝点）

• 一美元所赚得的一美分（绿点）

• 50美分所赚得的25美分（红点）

我们一共获得2.25美元。让我们回到一开始的公式，增量可以写成如下公式：

深究复杂的增长

是时候步步深入了，刚刚我们用50%代替了100%，如果我们继续放大，使得每4个小时增长来赚取我们的利息，我们画出更多的点来看看情况：

• 0月：我们从蓝点一美分开始

• 4月：蓝点已经赚取了自己的1/3，得到了绿点，约为33美分

• 8月：蓝点赚得另一个33美分，然后把它给你绿点，绿点变成66美分。33美分的绿点也赚取了自己的1/3产生了红点，约为11美分。

• 12月：这些东西变得更疯狂，蓝点有赚得33美分，再一次的给了绿点。66美分的绿点也赚得了自己的1/3，约为22美分，并给了红点。11美分的红点也赚得了33%，产生了紫点，约为4美分。   

完美！前后12个月一共赚得1+1+0.33+0.04=2.37

我们重新整理一下这些增长变化是如何发生的吧：

• 每一种颜色点把他自己的利息传给另一种颜色。而新产生的金钱又会赚取自己本身的利息，如此循环反复。

• 蓝点原来的金钱始终没有改变，每4个月提供固定33美分给绿点。如图，蓝点上的蓝色箭头所表示的就是他如何提供给绿点。

• 作为绿点，他无时无刻的增长，同时他提供给红点的金钱也越来越多。在4~8月之间绿点给红点11美分；在8~12月之间，他给了22美分给红点，因为在第8个月绿点变为66美分。如果继续写下去，那么绿点会给红点33美分，因为绿点在12月时已经变为一美元了。

懂么？万事开头难，所以我把我的思路和图表放在一起，以便于大家理解。如此我们就得到了一个增长率为1/3的等式

我们一共得到了2.37美元，比之前的2.25美元多了0.12美元。

我们的获得的金钱能无限增长么？

为什么我们不用更小的增长率来获得跟多的金钱呢？我们获得金钱只会趋近于一个点，我尝试着用数据证明这个问题，而不用复杂的微积分：

n
1	2
2	2.25
3	2.37
5	2.488
10	2.5937
100	2.7048
1,000	2.7169
10,000	2.71814
100,000	2.718268
1,000,000	2.7182804
……

n取得越大值，他的结果越接近2.71828……，等会，这不就是我们的e么？

没错，在令人厌恶的数学中，e被定义为连续增长系统的极限增量：

这个极限式子的结果就是e，同时，正如你所见，我们最后的金钱只能接近于e，而不能无限上涨。

他们全部的含义是啥？

e是一个时间单位内的增量。在每一个微小的步骤中所创造的利息也会开始增长。当所有事情都完成时，你就会的到e。

所以，如果你从一美元开始，我们就会得到1e，如果我们从2美元开始，那么我们就会得到2e。如果我们从11.79美元开始，就会的到11.79e。

e是一个增长极限。如光速c代表光的速度一样，代表着增长系统的增长速度，你不可能达到增长的极限，但是，依据这些参考点和通用的常数，你可以写下每一个增量

如果增长率不同呢？

这是个好问题，如果我们使用50%来代替100%，我们仍能得到e吗？

注意，如果用50%的复合增长率，我们能得到如下公式：

那么，接下来我们该怎么办呢？如上所说，50%是增长率，而数字n是代表将复增长率分为n个周期进行复合。如果n为50，那么，就是把50%分为50个周期，每个周期为1%。

那么，回忆一下，我们在上面表格中也有100%分为100分，即：

恩，好像有什么相似的地方，我们把100%分为100份，每份是1%；50%分为50份，每份也是1%。如此就能得到下述公式：

这非常神奇，，这跟e的幂是一样的。如果我们换成300%，那么，e的幂也会变为3倍，即。

虽然我们使用的是1%，但是你可以用任何一个更小的数，如0.1%、0.01%等等，但是得到的结果都是一样的，那就是如下公式：

• 如果是不同的单位时间呢？

如果我们300%的单位时间是2年呢？通过我们的证明得到如下：

（证明过程不在赘述，有兴趣同学可自己查阅下方参考文献。）

不失一般性：

这就是数学的魅力，我们通过幂的形式吧，增长率和单位时间联系在一起。

在函数中，我们能得到如下的两个信息：

• x可能是增长率为100%，单位时间为3年，即

• x也可能是增长率为300%，单位时间为1年，也为

让我解释下这个现象，这是说明100%的增长率在3年内和300%的增长率在1年内的总影响是相同的，而不是以后每个时间段都相同。

【注】本文内容部分翻译自https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

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